I dette kapitel introducerer vi matrixbegrebet. Matricer optræder i
alle afkroge af lineær algebra, og skal først og fremmest opfattes som
en notationsmæssig simplificering af den introducerede teori for lineære ligningssystemer.
2.1 Indledende definitioner
En matrix med indgange i er en
samling af skalarer fra , som er
opskrevet på rektangulær måde
Mængden af alle sådanne -matricer betegnes med
. Vi anvender til tider også som notation
for en generel matrix på formen (2.1). Alternativt skriver
vi blot , eller for matricen i (2.1). Hvis
kaldes for en kvadratisk
matrix. Vi anvender også notationen
for mængden af -matricer. Vi identificerer
matricer i med elementer i på naturlig måde;
specielt vil vi opfatte mængderne og som
værende identiske. Tilsvarende identificeres med
. Skalaren i (2.1) kaldes for
matricens 'te indgang eller koefficient; denne
betegnes til tider også med . Herudover omtales som matricens 'te
række
mens elementet
siges at være matricens 'te søjle
Dit svar: Det er en som er med indgange med størrelse x givet ved
Korrekt!Forkert.
Såfremt
og
så anvender vi til tider notationen om matricen
Matricen omtales også som
en opdelt matrix.
Når kan vi tilsvarende definere matricen
og helt generelt vil matricer , for og , definere en matrix
for og .
2.2 Lineære ligningssystemer og matricer
Enhver information om løsningsmængden til et lineært ligningssystem
er samlet i skalarerne og . Man indfører derfor
koefficientmatricen
og vektoren
og vælger ofte den korte notation
for det lineære ligningssystem (2.9).
Opskriv totalmatricen for det lineære ligningssystem
Dit svar: Det er en som er med indgange med størrelse x givet ved
Korrekt!Forkert.
F.eks. vil elementære operationer på (2.9) kunne udføres på
niveau af totalmatricen, hvor disse operationer også kaldes elementære
rækkeoperationer. F.eks. vil en Type I-operation på
(2.9) svare til en ombytning af to rækker i totalmatricen
. Vi definerer for generelle matricer:
[Elementære rækkeoperationer (ERO)]
En elementær
rækkeoperation på en matrix
er en operation på , der er af en af følgende tre
typer ():
For , ombyt den
'te og den 'te række i .
Multiplicer alle elementer i
den 'te række i med den samme skalar .
Adder til den 'te række et skalarmultiplum
af den 'te række (). Dvs. for en
fast skalar erstattes indgangen
med , for
.
Relationen til elementære operationer på lineære ligningssystemer er
åbenlys: såfremt det lineære ligningssystem
fremkommer fra ved anvendelse af en elementær
operation, så fremkommer totalmatricen fra
via en
tilsvarende elementær rækkeoperation; og vice versa. Det er derfor
også oplagt, at de fleste begreber som vi har defineret for lineære
ligningssystemer, har tilsvarende formuleringer i form af matricer. I det
følgende opsummeres kort, hvordan denne korrespondance forholder sig. I
første omgang indfører vi række-echelonform som en pendant til
reducerede lineære ligningssystemer.
[Række-echelonform (REF)]
En matrix
siges at være på række-echelonform
(eller kort REF), såfremt der findes en voksende følge af naturlige
tal
opfyldende
for og .
for .
for .
Ovenstående betingelser inkluderer tilfældet,
hvor , svarende til at alle indgange i
matricen er lig .
At en matrix er på række-echelonform, kan også illustreres ved, at
matricen har formen hvor repræsenterer indgange forskellig fra nul, mens
repræsenterer indgange, hvis værdier kan være vilkårlige.
Indgangene
under den angivne trappelinje er alle nul. Det bemærkes, at de
vertikale spring på trappelinjen alle er af højde , mens de
horisontale spring kan have vilkårlig længde. Det bemærkes også, at
rækker der kun indeholder indgange med værdien , er placeret
nederst.Udover at en matrix kan være på række-echelonform, så taler vi også om
matricer på reduceret række-echelonform. Reduceret
række-echelonform svarer til begrebet fuldstændigt reduceret for
lineære ligningssystemer og defineres ved:
[Reduceret række-echelonform (RREF)]
En matrix
siges at være på reduceret
række-echelonform (eller kort RREF), såfremt der findes en
voksende følge af naturlige tal
opfyldende
for og .
for .
for og .
for .
Indgangene kaldes, i givet fald, for matricens
pivoter. Ovenstående inkluderer
tilfældet hvor , svarende til at alle
indgange i matricen er lig .
At
en matrix er på reduceret række-echelonform betyder
specielt, at den er på række-echelonform. Reduceret række-echelonform
kan illustreres ved
Vi definerer nu:
[Rækkeækvivalente matricer]
To matricer siges at være
rækkeækvivalente, hvis man kan
opnå fra via en successiv følge af elementære
rækkeoperationer. I givet fald skriver vi .
Angiv hvilke matricer, der er rækkeækvivalente
med matricen
Konsekvensen af Gauss-Jordan algoritmen i sektionen om
Gauss Elimination får da følgende formulering:
Enhver matrix er rækkeækvivalent med en
matrix på reduceret række-echelonform.
Betragt det reelle lineære ligningssystem
fra Eksempel 1.17, og lad os løse det ved brug af matrixnotation. Vi
indfører totalmatricen
og udfører elementære rækkeoperationer for at komme frem til en
situation, hvor koefficientmatricen er på reduceret
række-echelonform.
Vi skal derfor blot løse det fuldstændigt reducerede lineære
ligningssystem
Her er og de ledende ubekendte. Værdien af
kan dermed vælges frit, og dette valg bestemmer så de tilsvarende
værdier for og . En konkret beregning giver, at
løsningsmængden består af vektorerne på formen
Som ovenstående eksempel illustrerer, så ændrer matrixnotationen ikke
den underliggende anvendte matematik, men letter alene den anvendte
notation. Matrixnotationen er notationsmæssigt specielt nyttig, hvis
vi skal løse flere
ligningssystemer
med samme koefficientmatrix . Vi kan her indføre en matrix , hvis 'te søjle er , og herefter betragte
matricen . Matricen indeholder på naturlig
måde totalmatricerne , , for
hver af de lineære ligningssystemer fra (2.18), så enhver
elementær rækkeoperation udført på svarer til at udføre en
tilsvarende operation på hver af 'erne. Hvis vi derfor via
rækkeoperationer bringer på en form , hvor er
en reduceret række-echelonform for , så vil det lineære
ligningssystem , for , være
ækvivalent med det fuldstændigt reducerede ligningssystem , hvor betegner den 'te søjle i matricen . Vi kan med andre ord nøjes med at bringe på
reduceret række-echelonform en enkelt gang frem for at skulle gøre dette for hver af de lineære ligningssystemer i (2.18). Vi
illusterer dette med et eksempel:
Lad os bestemme løsningsmængderne til hvert af de reelle
ligningssystemer
Vi indfører da matricen
og udfører elementære rækkeoperationer
til vi opnår en koefficientmatrix på reduceret
række-echelonform. Ligningssystemerne (2.19) er dermed
ækvivalente med hhv.
hvor vi let aflæser løsningerne til hhv. og .
Lad . Det lineære ligningsystem
har en løsning for alle hvis og kun hvis er
med matricen .Korrekt!
Ja, matricen som er rækkeævivalent med har ingen nulrækker,
og der vil derfor altid være løsninger til et ligningssystem på
formen .Forkert.