2 Matricer
VIDEO
I dette kapitel introducerer vi matrixbegrebet. Matricer optræder i
alle afkroge af lineær algebra, og skal først og fremmest opfattes som
en notationsmæssig simplificering af den introducerede teori for lineære ligningssystemer.
2.1 Indledende definitioner
En
m × n m \times n m × n F \mathbb{F} F er en
samling af
m n mn m n skalarer fra
F \mathbb{F} F , som er
opskrevet på rektangulær måde
( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) . (2.1)
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{pmatrix}
.
\tag{2.1} ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ a 1 1 a 2 1 ⋮ a m 1 a 1 2 a 2 2 ⋮ a m 2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ a 1 n a 2 n ⋮ a m n ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ . ( 2 . 1 )
Mængden af alle sådanne
m × n m \times n m × n -matricer betegnes med
M a t m , n ( F ) \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F}) M a t m , n ( F ) . Vi anvender til tider også
( a i j ) (a_{ij}) ( a i j ) som notation
for en generel matrix på formen
(2.1) . Alternativt skriver
vi blot
A A A , eller
A = ( a i j ) A=(a_{ij}) A = ( a i j ) for matricen i
(2.1) . Hvis
n = m n=m n = m kaldes
A A A for en
kvadratisk
matrix . Vi anvender også notationen
M a t n ( F ) \mathrm{Mat}_{n}(\mathbb{F}) M a t n ( F ) for mængden af
n × n n \times n n × n -matricer. Vi identificerer
matricer i
M a t m , 1 ( F ) \mathrm{Mat}_{m,1}(\mathbb{F}) M a t m , 1 ( F ) med elementer i
F m \mathbb{F}^m F m på naturlig måde;
specielt vil vi opfatte mængderne
F m \mathbb{F}^m F m og
M a t m , 1 ( F ) \mathrm{Mat}_{m,1}(\mathbb{F}) M a t m , 1 ( F ) som
værende identiske. Tilsvarende identificeres
M a t 1 , n ( F ) \mathrm{Mat}_{1,n}(\mathbb{F}) M a t 1 , n ( F ) med
F ˇ n \check {\mathbb{F}}^n F ˇ n . Skalaren
a i j ∈ F a_{ij} \in \mathbb{F} a i j ∈ F i
(2.1) kaldes for
matricens
( i , j ) (i,j) ( i , j ) 'te
indgang eller
koefficient ; denne
betegnes til tider også med
A i j A_{ij} A i j . Herudover omtales
( a i 1 , a i 2 , … , a i n ) ∈ F ˇ n (a_{i1},
a_{i2}, \ldots, a_{in}) \in \check \mathbb{F}^n ( a i 1 , a i 2 , … , a i n ) ∈ F ˇ n som matricens
i i i 'te
række
( a 11 a 12 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a i 1 a i 2 ⋯ a i n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) ← i ’te række (2.2)
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\\
\\
\leftarrow i\text{'te række} \\
\\
\\
\end{matrix}
\tag{2.2} ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ a 1 1 ⋮ a i 1 ⋮ a m 1 a 1 2 ⋮ a i 2 ⋮ a m 2 ⋯ ⋱ ⋯ ⋱ ⋯ a 1 n ⋮ a i n ⋮ a m n ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ← i ’te række ( 2 . 2 )
mens elementet
( a 1 j a 2 j ⋮ a m j ) ∈ F m ,
\begin{pmatrix}
a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj}
\end{pmatrix} \in \mathbb{F}^m,
⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ a 1 j a 2 j ⋮ a m j ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ∈ F m ,
siges at være matricens
j j j 'te
søjle
j ’te søjle ↓ ( a 11 ⋯ a 1 j ⋯ a 1 n a 21 ⋯ a 2 j ⋯ a 2 n ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 ⋯ a m j ⋯ a m n ) (2.3)
\begin{matrix}
& & j\text{'te søjle} & & \\
& & \downarrow & & \\
&&
\begin{pmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \\
\end{pmatrix}
\end{matrix}
\tag{2.3} j ’te søjle ↓ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ a 1 1 a 2 1 ⋮ a m 1 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ a 1 j a 2 j ⋮ a m j ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ a 1 n a 2 n ⋮ a m n ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ( 2 . 3 )
Quiz
Opskriv række to i matricen
( 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 )
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 3 & 4 & 5 \\
3 & 4 & 5 & 6
\end{pmatrix}
⎝ ⎜ ⎛ 1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6 ⎠ ⎟ ⎞
Quiz
Opskriv søjle tre i matricen
( 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 )
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 3 & 4 & 5 \\
3 & 4 & 5 & 6
\end{pmatrix}
⎝ ⎜ ⎛ 1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6 ⎠ ⎟ ⎞
Såfremt
A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) ∈ M a t m , n ( F ) , (2.4)
A=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{pmatrix}
\in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F}),
\tag{2.4} A = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ a 1 1 a 2 1 ⋮ a m 1 a 1 2 a 2 2 ⋮ a m 2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ a 1 n a 2 n ⋮ a m n ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ∈ M a t m , n ( F ) , ( 2 . 4 )
og
B = ( b 11 b 12 ⋯ b 1 n ′ b 21 b 22 ⋯ b 2 n ′ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b m 1 b m 2 ⋯ b m n ′ ) ∈ M a t m , n ′ ( F ) , (2.5)
B=
\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1 n'} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2 n'} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_{m 1} & b_{m 2} & \cdots & b_{m n'}
\end{pmatrix}
\in \mathrm{Mat}_{m,n'}(\mathbb{F}),
\tag{2.5} B = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ b 1 1 b 2 1 ⋮ b m 1 b 1 2 b 2 2 ⋮ b m 2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ b 1 n ′ b 2 n ′ ⋮ b m n ′ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ∈ M a t m , n ′ ( F ) , ( 2 . 5 )
så anvender vi til tider notationen
( A ∣ B ) (A \mid B) ( A ∣ B ) om matricen
( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n b 11 b 12 ⋯ b 1 n ′ b 21 b 22 ⋯ b 2 n ′ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b m 1 b m 2 ⋯ b m n ′ ) (2.6)
\begin{pmatrix}
\begin{array}{c | c}
\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{matrix}
&
\begin{matrix}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1 n'} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2 n'} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_{m 1} & b_{m 2} & \cdots & b_{m n'}
\end{matrix}
\end{array}
\end{pmatrix}
\tag{2.6} ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ a 1 1 a 2 1 ⋮ a m 1 a 1 2 a 2 2 ⋮ a m 2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ a 1 n a 2 n ⋮ a m n b 1 1 b 2 1 ⋮ b m 1 b 1 2 b 2 2 ⋮ b m 2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ b 1 n ′ b 2 n ′ ⋮ b m n ′ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ( 2 . 6 )
Matricen
( A ∣ B ) (A \mid B) ( A ∣ B ) omtales også som
en
opdelt matrix.
Når
C ∈ M a t m ′ , n ( F ) C \in \mathrm{Mat}_{m',n}(\mathbb{F}) C ∈ M a t m ′ , n ( F ) kan vi tilsvarende definere matricen
( A C ) ∈ M a t m + m ′ , n ( F ) , (2.7)
\begin{pmatrix}
A\\
\hline
C
\end{pmatrix}
\in \mathrm{Mat}_{m+m',n}(\mathbb{F}),
\tag{2.7} ( A C ) ∈ M a t m + m ′ , n ( F ) , ( 2 . 7 )
og helt generelt vil matricer
A i , j ∈ M a t m i , n j ( F ) A_{i,j} \in \mathrm{Mat}_{m_i, n_j}(\mathbb{F}) A i , j ∈ M a t m i , n j ( F ) , for
1 ≤ i ≤ s 1
\leq i \leq s 1 ≤ i ≤ s og
1 ≤ j ≤ t 1 \leq j \leq t 1 ≤ j ≤ t , definere en matrix
( A 1 , 1 A 1 , 2 ⋯ A 1 , t A 2 , 1 A 2 , 2 ⋯ A 2 , t ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A s , 1 A s , 2 ⋯ A s , t ) ∈ M a t m , n ( F ) . (2.8)
\begin{pmatrix}
\begin{array}{c | c | c | c}
A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,t} \\
\hline
A_{2,1} & A_{2,2} & \cdots & A_{2,t} \\
\hline
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\hline
A_{s,1} & A_{s,2} & \cdots & A_{s,t} \\
\end{array}
\end{pmatrix}
\in \mathrm{Mat}_{m,n} (\mathbb{F}).
\tag{2.8} ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ A 1 , 1 A 2 , 1 ⋮ A s , 1 A 1 , 2 A 2 , 2 ⋮ A s , 2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ A 1 , t A 2 , t ⋮ A s , t ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ∈ M a t m , n ( F ) . ( 2 . 8 )
for
m = ∑ i m i m=\sum_i m_i m = ∑ i m i og
n = ∑ j n j n= \sum_j n_j n = ∑ j n j .
2.2 Lineære ligningssystemer og matricer
Enhver information om løsningsmængden til et lineært ligningssystem
l 1 : a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 , l 2 : a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 , ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ l m : a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a m n x n = b m , (2.9)
\begin{alignedat}{8}
l_1 &: \quad &a_{11} x_1 &+ \,&a_{12} x_2 & +& \cdots &+& a_{1n} x_n & =
b_1,\\
l_2 &: \quad &a_{21} x_1 &+ \,&a_{22} x_2 &+ &\cdots &+& a_{2n} x_n & =
b_2,\\
& &\vdots \quad& & \vdots \quad & & & & \vdots \quad & \quad\,\,\vdots\\
l_m &: \quad &a_{m1} x_1 &+ \,&a_{m2} x_2 &+ &\cdots &+& a_{mn} x_n & =
b_m,
\end{alignedat}
\tag{2.9} l 1 l 2 l m : : : a 1 1 x 1 a 2 1 x 1 ⋮ a m 1 x 1 + + + a 1 2 x 2 a 2 2 x 2 ⋮ a m 2 x 2 + + + ⋯ ⋯ ⋯ + + + a 1 n x n a 2 n x n ⋮ a m n x n = b 1 , = b 2 , ⋮ = b m , ( 2 . 9 )
er samlet i skalarerne
a i j a_{ij} a i j og
b i b_i b i . Man indfører derfor
koefficientmatricen
A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) ∈ M a t m , n ( F ) , (2.10)
A =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{pmatrix}
\in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F}),
\tag{2.10} A = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ a 1 1 a 2 1 ⋮ a m 1 a 1 2 a 2 2 ⋮ a m 2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ a 1 n a 2 n ⋮ a m n ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ∈ M a t m , n ( F ) , ( 2 . 1 0 )
og vektoren
b = ( b 1 b 2 ⋮ b m ) ∈ F m ,
\bm{b} =
\begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{pmatrix} \in \mathbb{F}^m,
b = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ b 1 b 2 ⋮ b m ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ∈ F m ,
og vælger ofte den korte notation
A ⋅ x = b ,
A \cdot \bm{x} = \bm{b},
A ⋅ x = b ,
for det lineære ligningssystem
(2.9) .
Quiz
Opskriv koefficientmatricen for det lineære ligningssystem
l 1 : 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 10 , l 2 : 4 x 1 + 5 x 2 + 6 x 3 = 11 , l 3 : 7 x 1 + 8 x 2 + 9 x 3 = 12 ,
\begin{alignedat}{2}
l_1 & : 1 x_1 + 2 x_2 + 3 x_3 & &= 10,
\\
l_2 & : 4 x_1 + 5 x_2 + 6 x_3 & &= 11,
\\
l_3 & : 7 x_1 + 8 x_2 + 9 x_3 & &= 12,
\end{alignedat}
l 1 l 2 l 3 : 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 : 4 x 1 + 5 x 2 + 6 x 3 : 7 x 1 + 8 x 2 + 9 x 3 = 1 0 , = 1 1 , = 1 2 ,
Alle konkrete beregningsmæssige aspekter ifm. løsning af
(2.9) kan udføres på
totalmatricen (også kaldet den
udvidede
matrix ) givet ved
T = ( A ∣ b ) = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n b 1 b 2 ⋮ b m ) . (2.11)
T=
\begin{pmatrix}
A | \bm{b}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\begin{array}{c | c}
\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{matrix}
&
\begin{matrix}
b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m}
\end{matrix}
\end{array}
\end{pmatrix}
.
\tag{2.11} T = ( A ∣ b ) = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ a 1 1 a 2 1 ⋮ a m 1 a 1 2 a 2 2 ⋮ a m 2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ a 1 n a 2 n ⋮ a m n b 1 b 2 ⋮ b m ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ . ( 2 . 1 1 ) Quiz
Opskriv totalmatricen for det lineære ligningssystem
l 1 : 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 10 , l 2 : 4 x 1 + 5 x 2 + 6 x 3 = 11 , l 3 : 7 x 1 + 8 x 2 + 9 x 3 = 12 ,
\begin{alignedat}{2}
l_1 & : 1 x_1 + 2 x_2 + 3 x_3 & &= 10,
\\
l_2 & : 4 x_1 + 5 x_2 + 6 x_3 & &= 11,
\\
l_3 & : 7 x_1 + 8 x_2 + 9 x_3 & &= 12,
\end{alignedat}
l 1 l 2 l 3 : 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 : 4 x 1 + 5 x 2 + 6 x 3 : 7 x 1 + 8 x 2 + 9 x 3 = 1 0 , = 1 1 , = 1 2 ,
F.eks. vil elementære operationer på
(2.9) kunne udføres på
niveau af totalmatricen, hvor disse operationer også kaldes elementære
rækkeoperationer. F.eks. vil en
Type I -operation på
(2.9) svare til en ombytning af to rækker i totalmatricen
T T T . Vi definerer for generelle matricer:
[Elementære rækkeoperationer (ERO)]
En
elementær
rækkeoperation på en matrix
A ∈ M a t m , n ( F ) A \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F}) A ∈ M a t m , n ( F )
er en operation på
A A A , der er af en af følgende tre
typer (
1 ≤ i , j ≤ m 1
\leq i,j \leq m 1 ≤ i , j ≤ m ):
i ≠ j i \neq j i = j i i i j j j A A A i i i A A A α ∈ F ∖ { 0 } \alpha \in \mathbb{F}
\setminus \{ 0 \} α ∈ F ∖ { 0 } j j j i i i i ≠ j i \neq j i = j α ∈ F \alpha \in \mathbb{F} α ∈ F a j s a_{js} a j s a j s + α ⋅ a i s a_{js}+\alpha \cdot a_{is} a j s + α ⋅ a i s s = 1 , 2 , … , n s=1,2,\ldots,n s = 1 , 2 , … , n
Relationen til elementære operationer på lineære ligningssystemer er
åbenlys: såfremt det lineære ligningssystem
B ⋅ x = c B \cdot \bm{x} = \bm{c} B ⋅ x = c
fremkommer fra
A ⋅ x = b A \cdot \bm{x} = \bm{b} A ⋅ x = b ved anvendelse af en elementær
operation, så fremkommer totalmatricen
( B ∣ c ) (B\mid\bm{c}) ( B ∣ c ) fra
( A ∣ b ) (A\mid\bm{b}) ( A ∣ b ) via en
tilsvarende elementær rækkeoperation; og vice versa. Det er derfor
også oplagt, at de fleste begreber som vi har defineret for lineære
ligningssystemer, har tilsvarende formuleringer i form af matricer. I det
følgende opsummeres kort, hvordan denne korrespondance forholder sig. I
første omgang indfører vi
række-echelonform som en pendant til
reducerede lineære ligningssystemer.
[Række-echelonform (REF)]
En matrix
A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) ∈ M a t m , n ( F ) , (2.12)
A =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{pmatrix}
\in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F}),
\tag{2.12} A = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ a 1 1 a 2 1 ⋮ a m 1 a 1 2 a 2 2 ⋮ a m 2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ a 1 n a 2 n ⋮ a m n ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ∈ M a t m , n ( F ) , ( 2 . 1 2 )
siges at være på
række-echelonform
(eller kort REF), såfremt der findes en voksende følge af naturlige
tal
1 ≤ d 1 < d 2 < ⋯ < d r ≤ n ,
1 \leq d_1 < d_2 < \cdots < d_r \leq n,
1 ≤ d 1 < d 2 < ⋯ < d r ≤ n ,
opfyldende
a i j = 0 a_{ij} = 0 a i j = 0 i ≤ r i \leq r i ≤ r j < d i j < d_i j < d i a i d i ≠ 0 a_{id_i} \neq 0 a i d i = 0 i ≤ r i \leq r i ≤ r a i j = 0 a_{ij} =0 a i j = 0 i > r i>r i > r
Ovenstående betingelser inkluderer tilfældet,
hvor
r = 0 r=0 r = 0 , svarende til at alle indgange i
matricen
A A A er lig
0 0 0 .
At en matrix er på række-echelonform, kan også illustreres ved, at
matricen har formen
søjlenr. d 1 d 2 d 3 d 4 ⋯ d r ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ( 0 ∗ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋯ ⋆ ⋆ 0 0 ∗ ⋆ ⋆ ⋆ ⋯ ⋆ ⋆ 0 0 0 0 ∗ ⋆ ⋯ ⋆ ⋆ 0 0 0 0 0 ∗ ⋯ ⋆ ⋆ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ∗ ⋆ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ) } r rækker
\begin{aligned}
\text{søjlenr.} & \quad \quad \quad \, \, \, d_1 \quad d_2 \quad
\quad d_3 \, \, \, \, d_4 \, \, \, \cdots \, \, \, \, d_r \\
& \quad \quad \quad \, \, \, \downarrow \, \quad \downarrow \quad
\quad \, \, \downarrow \quad \, \downarrow \quad \, \, \, \quad \, \, \, \, \downarrow \\
&
\begin{pmatrix}
\begin{array}{c}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{|c}
\ast \\ \hline
\end{array}
\begin{array}{c}
\star
\end{array}
\begin{array}{c}
\star
\end{array}
\begin{array}{c}
\star
\end{array}
\begin{array}{c}
\star
\end{array}
\begin{array}{c}
\cdots
\end{array}
\begin{array}{c}
\star
\end{array}
\begin{array}{c}
\star
\end{array}
\\
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{|c}
\ast \\ \hline
\end{array}
\begin{array}{c}
\star \\ \hline
\end{array}
\begin{array}{c}
\star
\end{array}
\begin{array}{c}
\star
\end{array}
\begin{array}{c}
\cdots
\end{array}
\begin{array}{c}
\star
\end{array}
\begin{array}{c}
\star
\end{array}
\\
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{|c}
\ast \\ \hline
\end{array}
\begin{array}{c}
\star
\end{array}
\begin{array}{c}
\cdots
\end{array}
\begin{array}{c}
\star
\end{array}
\begin{array}{c}
\star
\end{array}
\\
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{|c}
\ast \\ \hline
\end{array}
\begin{array}{c}
\cdots
\end{array}
\begin{array}{c}
\star
\end{array}
\begin{array}{c}
\star
\end{array}
\\
\begin{array}{c}
\, \vdots \,
\end{array}
\begin{array}{c}
\, \vdots \,
\end{array}
\begin{array}{c}
\, \vdots
\end{array}
\begin{array}{c}
\, \vdots \,
\end{array}
\begin{array}{c}
\, \vdots
\end{array}
\begin{array}{c}
\, \vdots \,
\end{array}
\begin{array}{c}
\ddots
\end{array}
\begin{array}{c}
\, \vdots \,
\end{array}
\begin{array}{c}
\vdots \,
\end{array}
\\
\begin{array}{c}
\, \vdots \,
\end{array}
\begin{array}{c}
\, \vdots \,
\end{array}
\begin{array}{c}
\, \vdots
\end{array}
\begin{array}{c}
\, \vdots \,
\end{array}
\begin{array}{c}
\, \vdots
\end{array}
\begin{array}{c}
\, \vdots \,
\end{array}
\begin{array}{c}
\ddots
\end{array}
\begin{array}{|c}
\ast \\ \hline
\end{array}
\begin{array}{c}
\star \\ \hline
\end{array}
\\
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
\cdots
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\\\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
\cdots
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\\
\begin{array}{c}
\, \vdots \,
\end{array}
\begin{array}{c}
\, \vdots \,
\end{array}
\begin{array}{c}
\, \vdots
\end{array}
\begin{array}{c}
\, \vdots \,
\end{array}
\begin{array}{c}
\, \vdots
\end{array}
\begin{array}{c}
\, \vdots \,
\end{array}
\begin{array}{c}
\ddots
\end{array}
\begin{array}{c}
\, \vdots \,
\end{array}
\begin{array}{c}
\vdots \,
\end{array}
\\
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
\cdots
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\\
\end{array}
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
{\left.
\begin{aligned}
\\
\\
\\
\\
\\
\end{aligned}
\right\}
r \text{ rækker} } \\
\\
\\
\\
\\
\\
\end{matrix}
\end{aligned}
søjlenr. d 1 d 2 d 3 d 4 ⋯ d r ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 0 ∗ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋯ ⋆ ⋆ 0 0 ∗ ⋆ ⋆ ⋆ ⋯ ⋆ ⋆ 0 0 0 0 ∗ ⋆ ⋯ ⋆ ⋆ 0 0 0 0 0 ∗ ⋯ ⋆ ⋆ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ∗ ⋆ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎫ r rækker
hvor
∗ \ast ∗ repræsenterer indgange forskellig fra nul, mens
⋆ \star ⋆
repræsenterer indgange, hvis værdier kan være vilkårlige.
Indgangene
under den angivne
trappelinje er alle nul. Det bemærkes, at de
vertikale spring på trappelinjen alle er af højde
1 1 1 , mens de
horisontale spring kan have vilkårlig længde. Det bemærkes også, at
rækker der kun indeholder indgange med værdien
0 0 0 , er placeret
nederst.
Udover at en matrix kan være på række-echelonform, så taler vi også om
matricer på
reduceret række-echelonform . Reduceret
række-echelonform svarer til begrebet
fuldstændigt reduceret for
lineære ligningssystemer og defineres ved:
[Reduceret række-echelonform (RREF)]
En matrix
A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) ∈ M a t m , n ( F ) , (2.13)
A =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{pmatrix}
\in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F}),
\tag{2.13} A = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ a 1 1 a 2 1 ⋮ a m 1 a 1 2 a 2 2 ⋮ a m 2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ a 1 n a 2 n ⋮ a m n ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ∈ M a t m , n ( F ) , ( 2 . 1 3 )
siges at være på
reduceret
række-echelonform (eller kort RREF), såfremt der findes en
voksende følge af naturlige tal
1 ≤ d 1 < d 2 < ⋯ < d r ≤ n ,
1 \leq d_1 < d_2 < \cdots < d_r \leq n,
1 ≤ d 1 < d 2 < ⋯ < d r ≤ n ,
opfyldende
a i j = 0 a_{ij} = 0 a i j = 0 i ≤ r i \leq r i ≤ r j < d i j < d_i j < d i a i d i = 1 a_{id_i}=1 a i d i = 1 i ≤ r i \leq r i ≤ r a j d i = 0 a_{j d_i}= 0 a j d i = 0 i ≤ r i \leq r i ≤ r j ≠ i j \neq i j = i a i j = 0 a_{ij} =0 a i j = 0 i > r i>r i > r
Indgangene
a i d i a_{id_i} a i d i kaldes, i givet fald, for matricens
pivoter. Ovenstående inkluderer
tilfældet hvor
r = 0 r=0 r = 0 , svarende til at alle
indgange i matricen
A A A er lig
0 0 0 .
VIDEO
At
en matrix er på reduceret række-echelonform betyder
specielt, at den er på række-echelonform. Reduceret række-echelonform
kan illustreres ved
søjlenr. d 1 d 2 d 3 d 4 ⋯ d r ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ( 0 1 0 ⋆ 0 0 ⋯ 0 ⋆ 0 0 1 ⋆ 0 0 ⋯ 0 ⋆ 0 0 0 0 1 0 ⋯ 0 ⋆ 0 0 0 0 0 1 ⋯ 0 ⋆ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 1 ⋆ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ) } r rækker
\begin{aligned}
\text{søjlenr.} & \quad \quad \quad \, \, \, d_1 \quad d_2 \quad
\quad d_3 \, \, \, \, d_4 \, \, \, \cdots \, \, \, \, d_r \\
& \quad \quad \quad \, \, \, \downarrow \, \quad \downarrow \quad
\quad \, \, \downarrow \quad \, \downarrow \quad \, \, \, \quad \, \, \, \, \downarrow \\
&
\begin{pmatrix}
\begin{array}{c}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{|c}
1 \\ \hline
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
\star
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
\cdots
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
\star
\end{array}
\\
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{|c}
1 \\ \hline
\end{array}
\begin{array}{c}
\star \\ \hline
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
\cdots
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
\star
\end{array}
\\
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{|c}
1 \\ \hline
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
\cdots
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
\star
\end{array}
\\
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{|c}
1 \\ \hline
\end{array}
\begin{array}{c}
\cdots
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
\star
\end{array}
\\
\begin{array}{c}
\, \vdots \,
\end{array}
\begin{array}{c}
\, \vdots \,
\end{array}
\begin{array}{c}
\, \vdots
\end{array}
\begin{array}{c}
\, \vdots \,
\end{array}
\begin{array}{c}
\, \vdots
\end{array}
\begin{array}{c}
\, \vdots \,
\end{array}
\begin{array}{c}
\ddots
\end{array}
\begin{array}{c}
\, \vdots \,
\end{array}
\begin{array}{c}
\vdots \,
\end{array}
\\
\begin{array}{c}
\, \vdots \,
\end{array}
\begin{array}{c}
\, \vdots \,
\end{array}
\begin{array}{c}
\, \vdots
\end{array}
\begin{array}{c}
\, \vdots \,
\end{array}
\begin{array}{c}
\, \vdots
\end{array}
\begin{array}{c}
\, \vdots \,
\end{array}
\begin{array}{c}
\ddots
\end{array}
\begin{array}{|c}
1 \\ \hline
\end{array}
\begin{array}{c}
\star \\ \hline
\end{array}
\\
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
\cdots
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\\\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
\cdots
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\\
\begin{array}{c}
\, \vdots \,
\end{array}
\begin{array}{c}
\, \vdots \,
\end{array}
\begin{array}{c}
\, \vdots
\end{array}
\begin{array}{c}
\, \vdots \,
\end{array}
\begin{array}{c}
\, \vdots
\end{array}
\begin{array}{c}
\, \vdots \,
\end{array}
\begin{array}{c}
\ddots
\end{array}
\begin{array}{c}
\, \vdots \,
\end{array}
\begin{array}{c}
\vdots \,
\end{array}
\\
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
\cdots
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\begin{array}{c}
0
\end{array}
\\
\end{array}
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
{\left.
\begin{aligned}
\\
\\
\\
\\
\\
\end{aligned}
\right\}
r \text{ rækker} } \\
\\
\\
\\
\\
\\
\end{matrix}
\end{aligned}
søjlenr. d 1 d 2 d 3 d 4 ⋯ d r ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 0 1 0 ⋆ 0 0 ⋯ 0 ⋆ 0 0 1 ⋆ 0 0 ⋯ 0 ⋆ 0 0 0 0 1 0 ⋯ 0 ⋆ 0 0 0 0 0 1 ⋯ 0 ⋆ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 1 ⋆ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎫ r rækker
Vi definerer nu:
[Rækkeækvivalente matricer]
To matricer
A , B ∈ M a t m , n ( F ) A, B \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F}) A , B ∈ M a t m , n ( F ) siges at være
rækkeækvivalente , hvis man kan
opnå
B B B fra
A A A via en successiv følge af elementære
rækkeoperationer. I givet fald skriver vi
A ∼ B A \sim B A ∼ B .
Angiv hvilke matricer, der er rækkeækvivalente
med matricen
( 1 2 3 4 ) .
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix}.
( 1 3 2 4 ) .
( 0 0 0 0 ) \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix} ( 0 0 0 0 )
( 1 2 3 4 ) \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix} ( 1 3 2 4 )
( 3 4 1 2 ) \begin{pmatrix}
3 & 4 \\
1 & 2
\end{pmatrix} ( 3 1 4 2 )
( 1 0 0 0 ) \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix} ( 1 0 0 0 )
( 1 2 0 − 2 ) \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
0 & -2
\end{pmatrix} ( 1 0 2 − 2 )
( 1 0 0 1 ) \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} ( 1 0 0 1 ) Check
Konsekvensen af Gauss-Jordan algoritmen i sektionen om
Gauss Elimination får da følgende formulering:
Enhver matrix
A ∈ M a t m , n ( F ) A \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F}) A ∈ M a t m , n ( F ) er rækkeækvivalent med en
matrix
H H H på reduceret række-echelonform.
Betragt det reelle lineære ligningssystem
2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 = 2 , 2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 = 4 , 4 x 1 + 4 x 2 + 5 x 3 + 6 x 4 = 6 , (2.14) \begin{aligned}
2 x_1 + 2 x_2 + 2 x_3 + 2 x_4& = 2,\\
2 x_1 + 2 x_2 + 2 x_3 + 3 x_4& = 4, \\
4 x_1 + 4 x_2 + 5 x_3 + 6 x_4 &= 6,
\end{aligned}\tag{2.14} 2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 4 x 1 + 4 x 2 + 5 x 3 + 6 x 4 = 2 , = 4 , = 6 , ( 2 . 1 4 )
fra Eksempel
1.17 , og lad os løse det ved brug af matrixnotation. Vi
indfører totalmatricen
T = ( 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 4 4 5 6 6 ) , (2.15)
T=
\begin{pmatrix}
\begin{array}{cccc|c}
2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\
2 & 2 & 2 & 3 & 4\\
4 & 4 & 5 & 6 & 6
\end{array}
\end{pmatrix}
,
\tag{2.15} T = ⎝ ⎜ ⎛ 2 2 4 2 2 4 2 2 5 2 3 6 2 4 6 ⎠ ⎟ ⎞ , ( 2 . 1 5 )
og udfører elementære rækkeoperationer for at komme frem til en
situation, hvor koefficientmatricen er på reduceret
række-echelonform.
T ∼ ( 2 2 2 2 2 0 0 0 1 2 0 0 1 2 2 ) ∼ ( 2 2 2 2 2 0 0 1 2 2 0 0 0 1 2 ) ∼ ( 1 1 1 1 1 0 0 1 2 2 0 0 0 1 2 ) ∼ ( 1 1 0 − 1 − 1 0 0 1 2 2 0 0 0 1 2 ) ∼ ( 1 1 0 0 1 0 0 1 0 − 2 0 0 0 1 2 ) . \begin{alignedat}{2}
T & \sim
\begin{pmatrix}
\begin{array}{cccc|c}
2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 2 & 2
\end{array}
\end{pmatrix}
& \sim &
\begin{pmatrix}
\begin{array}{cccc|c}
2 & 2 & 2 & 2 & 2\\
0 & 0 & 1 & 2 & 2\\
0 & 0 & 0 & 1 & 2
\end{array}
\end{pmatrix}
\\
& \sim
\begin{pmatrix}
\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 2
\end{array}
\end{pmatrix}
& \sim &
\begin{pmatrix}
\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 0 & -1 & -1\\
0 & 0 & 1 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 2
\end{array}
\end{pmatrix}
\\
& \sim
\begin{pmatrix}
\begin{array}{cccc|c}
1 & 1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0 & -2\\
0 & 0 & 0 & 1 & 2
\end{array}
\end{pmatrix}.
& &
\end{alignedat} T ∼ ⎝ ⎜ ⎛ 2 0 0 2 0 0 2 0 1 2 1 2 2 2 2 ⎠ ⎟ ⎞ ∼ ⎝ ⎜ ⎛ 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 2 1 1 2 2 ⎠ ⎟ ⎞ ∼ ⎝ ⎜ ⎛ 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 − 2 2 ⎠ ⎟ ⎞ . ∼ ∼ ⎝ ⎜ ⎛ 2 0 0 2 0 0 2 1 0 2 2 1 2 2 2 ⎠ ⎟ ⎞ ⎝ ⎜ ⎛ 1 0 0 1 0 0 0 1 0 − 1 2 1 − 1 2 2 ⎠ ⎟ ⎞
Vi skal derfor blot løse det fuldstændigt reducerede lineære
ligningssystem
1 x 1 + 1 x 2 + 0 x 3 + 0 x 4 = 1 , 0 x 1 + 0 x 2 + 1 x 3 + 0 x 4 = − 2 , 0 x 1 + 0 x 2 + 0 x 3 + 1 x 4 = 2. (2.16) \begin{aligned}
1 x_1 + 1 x_2 + 0 x_3 + 0 x_4& = 1, \\
0 x_1 + 0 x_2 + 1 x_3 + 0 x_4& = -2, \\
0 x_1 + 0 x_2 + 0 x_3 + 1 x_4 &= 2.
\end{aligned}\tag{2.16} 1 x 1 + 1 x 2 + 0 x 3 + 0 x 4 0 x 1 + 0 x 2 + 1 x 3 + 0 x 4 0 x 1 + 0 x 2 + 0 x 3 + 1 x 4 = 1 , = − 2 , = 2 . ( 2 . 1 6 )
Her er
x 1 , x 3 x_1, x_3 x 1 , x 3 og
x 4 x_4 x 4 de ledende ubekendte. Værdien af
x 2 x_2 x 2
kan dermed vælges frit, og dette valg bestemmer så de tilsvarende
værdier for
x 1 , x 3 x_1, x_3 x 1 , x 3 og
x 4 x_4 x 4 . En konkret beregning giver, at
løsningsmængden består af vektorerne på formen
( 1 0 − 2 2 ) + α 2 ( − 1 1 0 0 ) for α 2 ∈ R . (2.17)
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
-2\\
2
\end{pmatrix}
+
\alpha_2
\begin{pmatrix}
-1 \\
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
\text{\quad for } \alpha_2 \in \mathbb{R}.
\tag{2.17} ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 1 0 − 2 2 ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ + α 2 ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ − 1 1 0 0 ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ for α 2 ∈ R . ( 2 . 1 7 )
Som ovenstående eksempel illustrerer, så ændrer matrixnotationen ikke
den underliggende anvendte matematik, men letter alene den anvendte
notation. Matrixnotationen er notationsmæssigt specielt nyttig, hvis
vi skal løse flere
ligningssystemer
A ⋅ x = b i for i = 1 , 2 , … , l , (2.18)
A \cdot \bm{x} = \bm{b}_i
\text{\quad for }i=1,2,\ldots ,l,
\tag{2.18} A ⋅ x = b i for i = 1 , 2 , … , l , ( 2 . 1 8 )
med samme koefficientmatrix
A A A . Vi kan her indføre en matrix
B ∈ M a t m , l ( F ) B \in
\mathrm{Mat}_{m,l}(\mathbb{F}) B ∈ M a t m , l ( F ) , hvis
i i i 'te søjle er
b i \bm{b}_i b i , og herefter betragte
matricen
T = ( A ∣ B ) T= (A\mid B) T = ( A ∣ B ) . Matricen
T T T indeholder på naturlig
måde totalmatricerne
T i = ( A ∣ b i ) T_i=(A\mid\bm{b}_i) T i = ( A ∣ b i ) ,
i = 1 , 2 , … , l i=1,2,\ldots,l i = 1 , 2 , … , l , for
hver af de lineære ligningssystemer fra
(2.18) , så enhver
elementær rækkeoperation udført på
T T T svarer til at udføre en
tilsvarende operation på hver af
T i T_i T i 'erne. Hvis vi derfor via
rækkeoperationer bringer
T T T på en form
( H ∣ C ) (H\mid C) ( H ∣ C ) , hvor
H H H er
en reduceret række-echelonform for
A A A , så vil det lineære
ligningssystem
A ⋅ x = b i A \cdot \bm{x} = \bm{b}_i A ⋅ x = b i , for
i = 1 , … , l i=1,\ldots,l i = 1 , … , l , være
ækvivalent med det fuldstændigt reducerede ligningssystem
H ⋅ x = c i H \cdot \bm{x}
= \bm{c}_i H ⋅ x = c i , hvor
c i \bm{c}_i c i betegner den
i i i 'te søjle i matricen
C ∈ M a t m , l ( F ) C \in
\mathrm{Mat}_{m,l}(\mathbb{F}) C ∈ M a t m , l ( F ) . Vi kan med andre ord nøjes med at bringe
A A A på
reduceret række-echelonform en enkelt gang frem for at skulle gøre dette for hver af de lineære ligningssystemer i
(2.18) . Vi
illusterer dette med et eksempel:
Lad os bestemme løsningsmængderne til hvert af de reelle
ligningssystemer
1 x 1 + 2 x 2 = 1 , 1 x 1 + 2 x 2 = 0 , 2 x 1 + 3 x 2 = 0 , 2 x 1 + 3 x 2 = 1. (2.19)
\begin{alignedat}{2}
1 x_1 + 2 x_2 & = 1, &\qquad 1 x_1 + 2 x_2 & = 0,
\\
2 x_1 + 3 x_2 & = 0, & 2 x_1 + 3 x_2 & = 1.
\end{alignedat}
\tag{2.19} 1 x 1 + 2 x 2 2 x 1 + 3 x 2 = 1 , = 0 , 1 x 1 + 2 x 2 2 x 1 + 3 x 2 = 0 , = 1 . ( 2 . 1 9 )
Vi indfører da matricen
T = ( 1 2 1 0 2 3 0 1 ) , (2.20)
T =
\begin{pmatrix}
\begin{array}{cc|cc}
1 & 2 & 1 & 0 \\
2 & 3 & 0 & 1
\end{array}
\end{pmatrix}
,
\tag{2.20} T = ( 1 2 2 3 1 0 0 1 ) , ( 2 . 2 0 )
og udfører elementære rækkeoperationer
T ∼ ( 1 2 1 0 0 − 1 − 2 1 ) ∼ ( 1 0 − 3 2 0 − 1 − 2 1 ) ∼ ( 1 0 − 3 2 0 1 2 − 1 ) , \begin{alignedat}{2}
T & \sim
\begin{pmatrix}
\begin{array}{cc|cc}
1 & 2 & 1 & 0\\
0 & -1 & -2 & 1
\end{array}
\end{pmatrix}
& \sim &
\begin{pmatrix}
\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & -3 & 2\\
0 & -1 & -2 & 1
\end{array}
\end{pmatrix}
\\
& \sim
\begin{pmatrix}
\begin{array}{cc|cc}
1 & 0 & -3 & 2\\
0 & 1 & 2 & -1
\end{array}
\end{pmatrix}
, & &
\end{alignedat} T ∼ ( 1 0 2 − 1 1 − 2 0 1 ) ∼ ( 1 0 0 1 − 3 2 2 − 1 ) , ∼ ( 1 0 0 − 1 − 3 − 2 2 1 )
til vi opnår en koefficientmatrix på reduceret
række-echelonform. Ligningssystemerne
(2.19) er dermed
ækvivalente med hhv.
1 x 1 + 0 x 2 = − 3 , 1 x 1 + 0 x 2 = 2 , 0 x 1 + 1 x 2 = 2 , 0 x 1 + 1 x 2 = − 1 , (2.21)
\begin{alignedat}{2}
1 x_1 + 0 x_2 & = -3, & \qquad 1 x_1 + 0 x_2 & = 2, \\
0 x_1 + 1 x_2 & = ~ 2, & 0 x_1 + 1 x_2 & = -1,
\end{alignedat}
\tag{2.21} 1 x 1 + 0 x 2 0 x 1 + 1 x 2 = − 3 , = 2 , 1 x 1 + 0 x 2 0 x 1 + 1 x 2 = 2 , = − 1 , ( 2 . 2 1 )
hvor vi let aflæser løsningerne til hhv.
v 1 = ( − 3 2 ) {\bm{v}}_1=
\begin{pmatrix}
-3 \\ 2
\end{pmatrix}
v 1 = ( − 3 2 ) og
v 2 = ( 2 − 1 ) {\bm{v}}_2=
\begin{pmatrix}
2 \\ -1
\end{pmatrix}
v 2 = ( 2 − 1 ) .
Quiz
Lad
A ∈ M a t 2 ( R ) A \in \mathrm{Mat}_2(\mathbb{R}) A ∈ M a t 2 ( R ) . Det lineære ligningsystem
A ⋅ x = b A \cdot \bm{x} = \bm{b} A ⋅ x = b
har en løsning for alle
b ∈ R 2 \bm{b} \in \mathbb{R}^2 b ∈ R 2 hvis og kun hvis
A A A er
med matricen
.
Korrekt!
Ja, matricen som A A A A ⋅ x = b A \cdot \bm{x} = \bm{b} A ⋅ x = b
Forkert.
( 1 0 0 1 ) \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix} ( 1 0 0 1 )
( 1 0 0 0 ) \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix} ( 1 0 0 0 )