2 Matricer

I dette kapitel introducerer vi matrixbegrebet. Matricer optræder i alle afkroge af lineær algebra, og skal først og fremmest opfattes som en notationsmæssig simplificering af den introducerede teori for lineære ligningssystemer.

2.1 Indledende definitioner

En $m \times n$ matrix med indgange i $\mathbb{F}$ er en samling af $mn$ skalarer fra $\mathbb{F}$, som er opskrevet på rektangulær måde $$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{pmatrix} . \tag{2.1}$$ Mængden af alle sådanne $m \times n$-matricer betegnes med $\mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F})$. Vi anvender til tider også $(a_{ij})$ som notation for en generel matrix på formen (2.1). Alternativt skriver vi blot $A$, eller $A=(a_{ij})$ for matricen i (2.1). Hvis $n=m$ kaldes $A$ for en kvadratisk matrix. Vi anvender også notationen $\mathrm{Mat}_{n}(\mathbb{F})$ for mængden af $n \times n$-matricer. Vi identificerer matricer i $\mathrm{Mat}_{m,1}(\mathbb{F})$ med elementer i $\mathbb{F}^m$ på naturlig måde; specielt vil vi opfatte mængderne $\mathbb{F}^m$ og $\mathrm{Mat}_{m,1}(\mathbb{F})$ som værende identiske. Tilsvarende identificeres $\mathrm{Mat}_{1,n}(\mathbb{F})$ med $\check {\mathbb{F}}^n$. Skalaren $a_{ij} \in \mathbb{F}$ i (2.1) kaldes for matricens $(i,j)$'te indgang eller koefficient; denne betegnes til tider også med $A_{ij}$. Herudover omtales $(a_{i1}, a_{i2}, \ldots, a_{in}) \in \check \mathbb{F}^n$ som matricens $i$'te række $$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix} \begin{matrix} \\ \\ \leftarrow i\text{'te række} \\ \\ \\ \end{matrix} \tag{2.2}$$ mens elementet $$\begin{pmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{pmatrix} \in \mathbb{F}^m,$$ siges at være matricens $j$'te søjle $$\begin{matrix} & & j\text{'te søjle} & & \\ & & \downarrow & & \\ && \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \\ \end{pmatrix} \end{matrix} \tag{2.3}$$

Quiz

Quiz

Såfremt $$A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{pmatrix} \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F}), \tag{2.4}$$ og $$B= \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1 n'} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2 n'} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m 1} & b_{m 2} & \cdots & b_{m n'} \end{pmatrix} \in \mathrm{Mat}_{m,n'}(\mathbb{F}), \tag{2.5}$$ så anvender vi til tider notationen $(A \mid B)$ om matricen $$\begin{pmatrix} \begin{array}{c | c} \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{matrix} & \begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1 n'} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2 n'} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m 1} & b_{m 2} & \cdots & b_{m n'} \end{matrix} \end{array} \end{pmatrix} \tag{2.6}$$ Matricen $(A \mid B)$ omtales også som en opdelt matrix. Når $C \in \mathrm{Mat}_{m',n}(\mathbb{F})$ kan vi tilsvarende definere matricen $$\begin{pmatrix} A\\ \hline C \end{pmatrix} \in \mathrm{Mat}_{m+m',n}(\mathbb{F}), \tag{2.7}$$ og helt generelt vil matricer $A_{i,j} \in \mathrm{Mat}_{m_i, n_j}(\mathbb{F})$, for $1 \leq i \leq s$ og $1 \leq j \leq t$, definere en matrix $$\begin{pmatrix} \begin{array}{c | c | c | c} A_{1,1} & A_{1,2} & \cdots & A_{1,t} \\ \hline A_{2,1} & A_{2,2} & \cdots & A_{2,t} \\ \hline \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \hline A_{s,1} & A_{s,2} & \cdots & A_{s,t} \\ \end{array} \end{pmatrix} \in \mathrm{Mat}_{m,n} (\mathbb{F}). \tag{2.8}$$ for $m=\sum_i m_i$ og $n= \sum_j n_j$.

2.2 Lineære ligningssystemer og matricer

Enhver information om løsningsmængden til et lineært ligningssystem $$\begin{alignedat}{8} l_1 &: \quad &a_{11} x_1 &+ \,&a_{12} x_2 & +& \cdots &+& a_{1n} x_n & = b_1,\\ l_2 &: \quad &a_{21} x_1 &+ \,&a_{22} x_2 &+ &\cdots &+& a_{2n} x_n & = b_2,\\ & &\vdots \quad& & \vdots \quad & & & & \vdots \quad & \quad\,\,\vdots\\ l_m &: \quad &a_{m1} x_1 &+ \,&a_{m2} x_2 &+ &\cdots &+& a_{mn} x_n & = b_m, \end{alignedat} \tag{2.9}$$ er samlet i skalarerne $a_{ij}$ og $b_i$. Man indfører derfor koefficientmatricen $$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{pmatrix} \in \mathrm{Mat}_{m,n}(\mathbb{F}), \tag{2.10}$$ og vektoren $$\bm{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix} \in \mathbb{F}^m,$$ og vælger ofte den korte notation $$A \cdot \bm{x} = \bm{b},$$ for det lineære ligningssystem (2.9).

Quiz

Alle konkrete beregningsmæssige aspekter ifm. løsning af (2.9) kan udføres på totalmatricen (også kaldet den udvidede matrix) givet ved $$T= \begin{pmatrix} A | \bm{b} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \begin{array}{c | c} \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{matrix} & \begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m} \end{matrix} \end{array} \end{pmatrix} . \tag{2.11}$$

Quiz

F.eks. vil elementære operationer på (2.9) kunne udføres på niveau af totalmatricen, hvor disse operationer også kaldes elementære rækkeoperationer. F.eks. vil en Type I-operation på (2.9) svare til en ombytning af to rækker i totalmatricen $T$. Vi definerer for generelle matricer: Relationen til elementære operationer på lineære ligningssystemer er åbenlys: såfremt det lineære ligningssystem $B \cdot \bm{x} = \bm{c}$ fremkommer fra $A \cdot \bm{x} = \bm{b}$ ved anvendelse af en elementær operation, så fremkommer totalmatricen $(B\mid\bm{c})$ fra $(A\mid\bm{b})$ via en tilsvarende elementær rækkeoperation; og vice versa. Det er derfor også oplagt, at de fleste begreber som vi har defineret for lineære ligningssystemer, har tilsvarende formuleringer i form af matricer. I det følgende opsummeres kort, hvordan denne korrespondance forholder sig. I første omgang indfører vi række-echelonform som en pendant til reducerede lineære ligningssystemer. At en matrix er på række-echelonform, kan også illustreres ved, at matricen har formen $$\begin{aligned} \text{søjlenr.} & \quad \quad \quad \, \, \, d_1 \quad d_2 \quad \quad d_3 \, \, \, \, d_4 \, \, \, \cdots \, \, \, \, d_r \\ & \quad \quad \quad \, \, \, \downarrow \, \quad \downarrow \quad \quad \, \, \downarrow \quad \, \downarrow \quad \, \, \, \quad \, \, \, \, \downarrow \\ & \begin{pmatrix} \begin{array}{c} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{|c} \ast \\ \hline \end{array} \begin{array}{c} \star \end{array} \begin{array}{c} \star \end{array} \begin{array}{c} \star \end{array} \begin{array}{c} \star \end{array} \begin{array}{c} \cdots \end{array} \begin{array}{c} \star \end{array} \begin{array}{c} \star \end{array} \\ \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{|c} \ast \\ \hline \end{array} \begin{array}{c} \star \\ \hline \end{array} \begin{array}{c} \star \end{array} \begin{array}{c} \star \end{array} \begin{array}{c} \cdots \end{array} \begin{array}{c} \star \end{array} \begin{array}{c} \star \end{array} \\ \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{|c} \ast \\ \hline \end{array} \begin{array}{c} \star \end{array} \begin{array}{c} \cdots \end{array} \begin{array}{c} \star \end{array} \begin{array}{c} \star \end{array} \\ \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{|c} \ast \\ \hline \end{array} \begin{array}{c} \cdots \end{array} \begin{array}{c} \star \end{array} \begin{array}{c} \star \end{array} \\ \begin{array}{c} \, \vdots \, \end{array} \begin{array}{c} \, \vdots \, \end{array} \begin{array}{c} \, \vdots \end{array} \begin{array}{c} \, \vdots \, \end{array} \begin{array}{c} \, \vdots \end{array} \begin{array}{c} \, \vdots \, \end{array} \begin{array}{c} \ddots \end{array} \begin{array}{c} \, \vdots \, \end{array} \begin{array}{c} \vdots \, \end{array} \\ \begin{array}{c} \, \vdots \, \end{array} \begin{array}{c} \, \vdots \, \end{array} \begin{array}{c} \, \vdots \end{array} \begin{array}{c} \, \vdots \, \end{array} \begin{array}{c} \, \vdots \end{array} \begin{array}{c} \, \vdots \, \end{array} \begin{array}{c} \ddots \end{array} \begin{array}{|c} \ast \\ \hline \end{array} \begin{array}{c} \star \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} \cdots \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \\\begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} \cdots \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \\ \begin{array}{c} \, \vdots \, \end{array} \begin{array}{c} \, \vdots \, \end{array} \begin{array}{c} \, \vdots \end{array} \begin{array}{c} \, \vdots \, \end{array} \begin{array}{c} \, \vdots \end{array} \begin{array}{c} \, \vdots \, \end{array} \begin{array}{c} \ddots \end{array} \begin{array}{c} \, \vdots \, \end{array} \begin{array}{c} \vdots \, \end{array} \\ \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} \cdots \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \\ \end{array} \end{pmatrix} \begin{matrix} {\left. \begin{aligned} \\ \\ \\ \\ \\ \end{aligned} \right\} r \text{ rækker} } \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{matrix} \end{aligned}$$ hvor $\ast$ repræsenterer indgange forskellig fra nul, mens $\star$ repræsenterer indgange, hvis værdier kan være vilkårlige. Indgangene under den angivne trappelinje er alle nul. Det bemærkes, at de vertikale spring på trappelinjen alle er af højde $1$, mens de horisontale spring kan have vilkårlig længde. Det bemærkes også, at rækker der kun indeholder indgange med værdien $0$, er placeret nederst.Udover at en matrix kan være på række-echelonform, så taler vi også om matricer på reduceret række-echelonform. Reduceret række-echelonform svarer til begrebet fuldstændigt reduceret for lineære ligningssystemer og defineres ved:At en matrix er på reduceret række-echelonform betyder specielt, at den er på række-echelonform. Reduceret række-echelonform kan illustreres ved $$\begin{aligned} \text{søjlenr.} & \quad \quad \quad \, \, \, d_1 \quad d_2 \quad \quad d_3 \, \, \, \, d_4 \, \, \, \cdots \, \, \, \, d_r \\ & \quad \quad \quad \, \, \, \downarrow \, \quad \downarrow \quad \quad \, \, \downarrow \quad \, \downarrow \quad \, \, \, \quad \, \, \, \, \downarrow \\ & \begin{pmatrix} \begin{array}{c} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{|c} 1 \\ \hline \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} \star \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} \cdots \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} \star \end{array} \\ \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{|c} 1 \\ \hline \end{array} \begin{array}{c} \star \\ \hline \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} \cdots \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} \star \end{array} \\ \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{|c} 1 \\ \hline \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} \cdots \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} \star \end{array} \\ \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{|c} 1 \\ \hline \end{array} \begin{array}{c} \cdots \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} \star \end{array} \\ \begin{array}{c} \, \vdots \, \end{array} \begin{array}{c} \, \vdots \, \end{array} \begin{array}{c} \, \vdots \end{array} \begin{array}{c} \, \vdots \, \end{array} \begin{array}{c} \, \vdots \end{array} \begin{array}{c} \, \vdots \, \end{array} \begin{array}{c} \ddots \end{array} \begin{array}{c} \, \vdots \, \end{array} \begin{array}{c} \vdots \, \end{array} \\ \begin{array}{c} \, \vdots \, \end{array} \begin{array}{c} \, \vdots \, \end{array} \begin{array}{c} \, \vdots \end{array} \begin{array}{c} \, \vdots \, \end{array} \begin{array}{c} \, \vdots \end{array} \begin{array}{c} \, \vdots \, \end{array} \begin{array}{c} \ddots \end{array} \begin{array}{|c} 1 \\ \hline \end{array} \begin{array}{c} \star \\ \hline \end{array} \\ \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} \cdots \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \\\begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} \cdots \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \\ \begin{array}{c} \, \vdots \, \end{array} \begin{array}{c} \, \vdots \, \end{array} \begin{array}{c} \, \vdots \end{array} \begin{array}{c} \, \vdots \, \end{array} \begin{array}{c} \, \vdots \end{array} \begin{array}{c} \, \vdots \, \end{array} \begin{array}{c} \ddots \end{array} \begin{array}{c} \, \vdots \, \end{array} \begin{array}{c} \vdots \, \end{array} \\ \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} \cdots \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \begin{array}{c} 0 \end{array} \\ \end{array} \end{pmatrix} \begin{matrix} {\left. \begin{aligned} \\ \\ \\ \\ \\ \end{aligned} \right\} r \text{ rækker} } \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{matrix} \end{aligned}$$ Vi definerer nu: Konsekvensen af Gauss-Jordan algoritmen i sektionen om Gauss Elimination får da følgende formulering: Som ovenstående eksempel illustrerer, så ændrer matrixnotationen ikke den underliggende anvendte matematik, men letter alene den anvendte notation. Matrixnotationen er notationsmæssigt specielt nyttig, hvis vi skal løse flere ligningssystemer $$A \cdot \bm{x} = \bm{b}_i \text{\quad for }i=1,2,\ldots ,l, \tag{2.18}$$ med samme koefficientmatrix $A$. Vi kan her indføre en matrix $B \in \mathrm{Mat}_{m,l}(\mathbb{F})$, hvis $i$'te søjle er $\bm{b}_i$, og herefter betragte matricen $T= (A\mid B)$. Matricen $T$ indeholder på naturlig måde totalmatricerne $T_i=(A\mid\bm{b}_i)$, $i=1,2,\ldots,l$, for hver af de lineære ligningssystemer fra (2.18), så enhver elementær rækkeoperation udført på $T$ svarer til at udføre en tilsvarende operation på hver af $T_i$'erne. Hvis vi derfor via rækkeoperationer bringer $T$ på en form $(H\mid C)$, hvor $H$ er en reduceret række-echelonform for $A$, så vil det lineære ligningssystem $A \cdot \bm{x} = \bm{b}_i$, for $i=1,\ldots,l$, være ækvivalent med det fuldstændigt reducerede ligningssystem $H \cdot \bm{x} = \bm{c}_i$, hvor $\bm{c}_i$ betegner den $i$'te søjle i matricen $C \in \mathrm{Mat}_{m,l}(\mathbb{F})$. Vi kan med andre ord nøjes med at bringe $A$ på reduceret række-echelonform en enkelt gang frem for at skulle gøre dette for hver af de lineære ligningssystemer i (2.18). Vi illusterer dette med et eksempel:

Quiz